Ծնվել է Սիմֆերոպոլում: 1931 թ-ին Աբրամ Ստասևիչը ավարտել է Մոսկվայի կոնսերվատորիայի թավջութակի, իսկ 1937 թ-ին՝ դիրիժորական բաժինները: 1927-1935 թթ.՝ Մոսկվայի ֆիլհարմոնիայի սիմֆոնիկ նվագախմբի թավջութակահար: 1942-1944 թթ.՝ Լենինգրադի ֆիլհարմոնիկ նվագախմբի (տարհանվել է Նովոսիբիրսկ), 1944-1952 թթ.՝ Մոսկվայի Համամիութենական ռադիոյի Մեծ թատրոնի սիմֆոնիկ նվագախումբի դիրիժոր: Հանդես է եկել ԽՍՀՄ տարբեր քաղաքներում, ԱՄՆ-ում: Աբրամ Ստասևիչը հանդես է եկել նաև իր կանտատա-օրատորիա ստեղծագործությունների կատարող: Համերգներով ելույթ է ունեցել աշխարհի տարբեր նվագախմբերի հետ: 1957 թ-ին Աբրամ Ստասևիչը արժանացել է ՌՍՖՍՀ վաստակավոր արտիստի կոչման: Մահացել է Կիսլովոդսկում: