Ծնվել է Երևանում: 1969թ. ավարտել է Երևանի Կոմիտասի անվան պետական կոնսերվատորիայի Էդվարդ Միրզոյանի ստեղծագործական, 1970թ.` Գեորգի Սարաջյանի դաշնամուրային դասարանները: 1972թ. ավարտել է նույն հաստատության ասպիրանտուրան՝ Էդվարդ Միրզոայնի ղեկավարությամբ: 1970-2000թթ. աշխատել է Երևանի Ռ.Մելիքյանի անվան երաժշտական ուսումնարանում որպես դաշնամուրի դասատու: 1973թ-ից դասավանդում է Երևանի կոնսերվատորիայում, սկզբում խմբավարական, իսկ 2000թ-ից՝ ստեղծագործական ամբիոնում (2000թ-ից՝ պրոֆեսոր): 1979-86թթ. եղել է Հայաստանի կոմպոզիտորների միության վարչության քարտուղարը, 1986-91թթ.` փոխնախագահը: 1995-2000թթ. ղեկավարել է Հայաստանի Ֆիլհարմոնիկ նվագախմբին կից Սիմֆոնիկ երաժշտության կենտրոնը: Լ. Չաուշյանը հեղինակ է մի շարք սիմֆոնիկ պոեմների, դաշնամուրի և սիմֆոնիկ նվագախմբի, ջութակի և սիմֆոնիկ նվագախմբի, ֆլեյտայի և կամերային նվագախմբի համար կոնցերտների, կվարտետների, գործիքային սոնատների, ռոմանսների, վոկալ շարքերի, խմբերգերի և այլն: Լևոն Չաուշյանը արժանացել է մի շարք մրցանակների, իսկ 2009թ-ին նրան շնորհվել է Հայաստանի արվեստի վաստակավոր գործչի կոչում: