Родился в Симферополе. В 1931 г. Абрам Стасевич окончил Московскую консерваторию по классу виолончели, а в 1937 г. - по классу дирижирования. С 1927 по 1935 гг. - виолончелист симфонического оркестра Московской филармонии. С 1942 по 1944 гг. - дирижер оркестра Ленинградской филармонии (эвакуированной в Новосибирск), с 1944 по 1952 гг. - Большого симфонического оркестра Всесоюзного радио в Москве. Выступал в различных городах СССР, США. Абрам Стасевич выступал и как исполнитель собственных кантатно-ораториальных произведений. На протяжении всей своей деятельности дирижеру довелось выступать со множеством разных коллективов. В 1957г. Абраму Стасевичу было присвоено звание Заслуженного деятеля искусств РСФСР. Умер в Кисловодске.