Родился в Эрзруме (Западная Армения). В 1915г., во время Геноцида армян, Варжапетян поселился в Александрополе (ныне - Гюмри). С 1926 по 1931гг. учился в Ереванской консерватории в отделении духовых инструментов (класс Мангасаряна), а с 1931 по 1936гг. – в отделении композиции (класс К. Сараджева). Работал дирижером-педагогом в Ленинаканском музыкальном училище (ныне - Гюмри). С 1937г. работал дирижером, заместителем директора в Ереванском театре оперы и балета им. А. Спендиаряна, был ассистентом М. Тавризяна. С 1940 года Григор Варжапетян был директором театра. В 1939г. он был награжден орденом «Знак Почета», а в 1945 году Варжапетяну было удостоено звание заслуженного артиста Армении. Умер в Тбилиси.