Родился в Бейруте (Ливан). В 1946 г. Тигран Левонян репатриировался вместе с родителями. В 1958 году окончил Ереванский театральный институт, а в 1977 году — факультет оперной режиссуры Московского института театрального искусства. Тигран Левонян учился пению у своей будущей жены Гоар Гаспарян. Стажировался в знаменитом миланском театре «Ла Скала». С 1962 г. - солист Национального академического театра оперы и балета им. А. Спендиаряна. С 1970 по 1977 гг. одновременно был режиссером, с 1977 г. - главным режиссером, а с 1991 по 1999 гг. - художественным руководителем и директором театра оперы и балета им. А. Спендиаряна. В 1984 году Тиграну Левоняну было присвоено звание народного артиста Армянской ССР. Он был профессором Ереванской государственной консерватории. Скончался в Ереване.