Родился в Астрахани. С 1919 года Василий Целиковский был руководителем клубных хоровых и симфонических коллективов. В 1930 году окончил Московскую консерваторию по классу дирижирования у Константина Сараджева; музыкально-теоретические предметы изучал у Георгия Конюса. В 1949-1956 годах был дирижером Большого симфонического оркестра Всесоюзного радио (сейчас Большой симфонический оркестр имени П. И. Чайковского). В 1948-1949 годах преподавал дирижирование в Московской консерватории. В 1944 году Целиковский был удостоен звания народного артиста Киргизской ССР, в 1955 г. – народного артиста РСФСР. Умер в Москве.